DISTRIBUSI PROBALITAS, BINOMIAL, GEOMETRIK DAN POISSON

 Nama : Diotama Saputra

Npm : 19316034

Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Fungsi distribusi peluang/Probabilitas pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

Variabel random diskrit merupakan suatu variabel random yang hanya dapat memiliki harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan bulat). Variabel random kontinu merupakan suatu variabel random yang dapat memiliki harga dalam suatu interval (tak berhingga banyaknya).

Contoh :

Distribusi probabilitas diskrit

Variabel diskrit

Variabel diskrit merupakan variable yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung.

Variabel diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai X= x1,x2,x3,…..,xn terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) ditulis.

Contoh

Ekspektasi sebuah variable acak ditentukan oleh beberapa criteria, yaitu kita dapat menentukan sebuah variable acak jika ada ekspektasinya. Rumus untuk mencari ekspektasi atau nilai harap dari variable acak adalah sebagai berikut ;

Contoh.

Dua Variabel Random

Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatu eksperimen.

Contoh: 

Peluang dan Variabel Random

Contoh  

                PP atau 2P maka P3 = 0,25

Distribusi Bernoulli

Eksperimen Eksperimen Bernoulli dengan hanya dua hasil yang mungkin Contoh

 melempar mata uang logam satu kali

Mengamati telur ayam, apakah anak ayam itu jantan atau betina

Mengamati kedelai yang ditanam, tumbuh atau tidak

Reaksi obat pada tikus, positif atau negatif

Sifat-sifat Eksperimen Bernoulli

·         tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G);

·         peluang sukses, P(S) = p dan peluang gagal P(G) = 1 − p, atau P(G) = q;

·         usaha-usaha tersebut independen

Distribusi Binomial

Merupakan suatu distribusi probabilitas teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1.    Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2.    Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3.    Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4.    Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomial

Contoh (Distribusi Binomial)

Probabilitas binomial kumulatif 

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.

Ciri-ciri ditribusi Poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut bahwa hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah, Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

Penggunaan Distribusi Poisson yaitu dalam hal :

a)    menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti:  

–     Menghitung probabilitas dari kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank.  

–     Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.

–     Banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

–     Jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik. Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.  

–     Distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.

b)    Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut : ü jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > <0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :

–     jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaituü ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.

–     menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

–     kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil.

Rumus Distribusi Poisson

Distribusi Geometrik
Contoh :

Distribusi Multinomial

merupakan perluasan dari distribusi binomial.

Percobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin.

Contoh

Banyaknya titik sampel pada pelemparan dua buah dadu adalah 36 titik sampel.

Distribusi Hipergeometrik

Eksperimen hipergeometrik: dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakasukses sedangkan sisanya N − k dinamakan gagal, sampel berukuran n diambil dari N benda, Cara pengambilan sampel tanpa pengembalian.

Contoh :

Pendekatan Poisson untuk Binomial :

• X ~ Binomial(n, p)

• Bila n besar dan n kecil,

– Binomial(n, p) → Poisson(λ), dengan λ = np

Distribusi peluang geometrik merupakan sebuah fungsi peluang yang menghimpun banyaknya percobaan yang dilakukan untuk memperoleh sukses pertama kali dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q. Jika X menyatakan banyaknya percobaan tersebut maka nilai random variabel x yang mungkin adalah 1, 2, 3, dan seterusnya hingga tak hingga atau x = 1, 2, 3, … , ~. Dengan mudah fungsi peluang distribusi geometrik dinyatakan sebagai berikut:

f(x) = pqx-1 untuk x = 1, 2, 3, … , ~

Artikel kali ini akan membahas beberapa aspek dari distribusi geometrik dengan menggunakan R yaitu: Nilai peluang P(X = x), Peluang Kumulatif P(X <= x) dan Simulasi Data berdistribusi Geometrik.

1. Nilai Peluang P(X=x)

Nilai peluang P(X=x) dapat dihitung menggunakan R dengan perintah dgeom(x-1,p). Berikut beberapa contoh penggunaannya:

P(X=1, p = 0.2) = dgeom(0,0.2) = 0.2

P(X=5, p = 0.3) = dgeom(4,0.3) = 0.07203

P(X=7, p = 0.7) = dgeom(6,0.7) = 0.0005103

2. Peluang Kumulatif P(X <= x)

Nilai peluang kumulatif (CDF) P(X <= x) dihitung dengan R menggunakan perintah pgeom(x-1,p). Jika kita ingin menghitung peluang dari dibutuhkan paling banyak 5 percobaan memasukkan bola basket ke ring basket untuk pertama kali dengan peluang masuk untuk satu shoot adalah 0.8 maka:

P(x=1, p=0.8) + P(x=2, p=0.8) + P(x=3, p=0.8) + P(x=4, p=0.8) + P(x=5, p=0.8) = P(X <= 5, p = 0.8).

Perintah dalam R untuk contoh ini adalah

dgeom(0,0.8)+dgeom(1,0.8)+dgeom(2,0.8)+dgeom(3,0.8)+dgeom(4,0.8) = 0.99968

Cara singkat yang llebih efisien adalah pgeom(4,0.8) = 0.99968.

3. Simulasi Data berdistribusi Geometrik

Sekarang, mari kita bangkitkan data yang berdistribusi geometrik. Untuk kebutuhann ini, perintah R yang digunakan adalah

rgeom(N,p)

di mana N adalah jumlah data yang akan dibangkitkan dan p adalah peluang sukses terjadi.

Untuk memvisualisasikan data berdistribusi geometrik, kita bisa manfaatkan perintah

hist

untuk membentuk histogram. Lengkapi histogram dengan keterangan yang dibutuhkan. Misalnya kita ingin membangkitkan 1000 data berdistribusi geometrik dengan peluang sukses sebesar 0.2 maka perintah yang bisa digunakan adalah:

hist(rgeom(1000,0.2),main=”Histogram of Geomteric”,col=”steelblue”,prob=TRUE,xlab=”X”)

Adapun output yang dihasilkan sebagai berikut:

• 

  Gambar Histogram Data Berdistribusi Geometrik

Penjelasan